Den lange historien med å finne Pi
Tallet representert av pi (π) brukes i beregninger når noe rundt (eller nesten det) er involvert, for eksempel for sirkler, kuler, sylindre, kjegler og ellipser. Dens verdi er nødvendig for å beregne mange viktige størrelser om disse formene, for eksempel å forstå forholdet mellom en sirkels radius og dens omkrets og areal (omkrets=2πr; areal=πrto).
Pi dukker også opp i beregningene for å bestemme arealet av en ellipse og for å finne radius, overflateareal og volum av en kule.
Vår verden inneholder mange runde og nærrunde gjenstander; å finne den nøyaktige verdien av pi hjelper oss å bygge, produsere og jobbe med dem mer nøyaktig.
Historisk sett hadde folk bare svært grove estimater av pi (som 3, eller 3,12 eller 3,16), og selv om de visste at dette var estimater, hadde de ingen anelse om hvor langt unna de kunne være.
Jakten på den nøyaktige verdien av pi førte ikke bare til mer nøyaktighet, men også til utviklingen av nye konsepter og teknikker, som grenser og iterative algoritmer, som deretter ble grunnleggende for nye områder av matematikken.
Finne den faktiske verdien av pi
Arkimedes. Wikimedia Commons
For mellom 3000 og 4000 år siden brukte folk prøv-og-feil-tilnærminger av pi, uten å gjøre noen matematikk eller vurdere potensielle feil. De tidligste skrevne tilnærmingene til pi er 3.125 i Babylon (1900-1600 f.Kr.) og 3.1605 i det gamle Egypt (1650 f.Kr.). Begge tilnærmingene starter med 3,1 – ganske nær den faktiske verdien, men fortsatt relativt langt unna.
Arkimedes metode for å beregne pi involverte polygoner med flere og flere sider.
Den første strenge tilnærmingen til å finne den sanne verdien av pi var basert på geometriske tilnærminger. Rundt 250 f.Kr. tegnet den greske matematikeren Arkimedes polygoner både rundt utsiden og innenfor det indre av sirkler. Måling av omkretsen til disse ga øvre og nedre grenser for området som inneholder pi. Han startet med sekskanter; ved å bruke polygoner med flere og flere sider, beregnet han til slutt tre nøyaktige sifre i pi: 3,14. Rundt 150 e.Kr. brukte den gresk-romerske vitenskapsmannen Ptolemaios denne metoden for å beregne en verdi på 3,1416.
Uavhengig, rundt 265 e.Kr., skapte den kinesiske matematikeren Liu Hui en annen enkel polygonbasert iterativ algoritme. Han foreslo en veldig rask og effektiv tilnærmingsmetode, som ga fire nøyaktige sifre. Senere, rundt 480 e.Kr., adopterte Zu Chongzhi Liu Huis metode og oppnådde syv sifre med nøyaktighet. Denne rekorden holdt i ytterligere 800 år.
Liu Huis metode for å beregne pi brukte også polygoner, men på en litt annen måte. Wikimedia Commons
I 1630 kom den østerrikske astronomen Christoph Grienberger til 38 sifre, som er den mest nøyaktige tilnærmingen som er oppnådd manuelt ved bruk av polygonale algoritmer.
Beveger seg forbi polygoner
Utviklingen av uendelige serieteknikker på 1500- og 1600-tallet forbedret i stor grad folks evne til å tilnærme pi mer effektivt. En uendelig rekke er summen (eller mye mindre vanlig, produktet) av leddene til en uendelig sekvens, for eksempel ½, ¼, 1/8, 1/16, … 1/(2n). Den første skriftlige beskrivelsen av en uendelig serie som kunne brukes til å beregne pi ble lagt ut på sanskritvers av den indiske astronomen Nilakantha Somayaji rundt 1500 e.Kr., beviset på dette ble presentert rundt 1530 e.Kr.
I 1665 brukte den engelske matematikeren og fysikeren Isaac Newton uendelige serier for å beregne pi til 15 sifre ved å bruke kalkulus han og den tyske matematikeren Gottfried Wilhelm Leibniz oppdaget. Etter det ble rekorden stadig slått. Den nådde 71 sifre i 1699, 100 sifre i 1706 og 620 sifre i 1956 - den beste tilnærmingen oppnådd uten hjelp av en kalkulator eller datamaskin.
I takt med disse beregningene forsket matematikere på andre egenskaper ved pi. Den sveitsiske matematikeren Johann Heinrich Lambert (1728-1777) beviste først at pi er et irrasjonelt tall – det har et uendelig antall sifre som aldri kommer inn i et repeterende mønster. I 1882 beviste den tyske matematikeren Ferdinand von Lindemann at pi ikke kan uttrykkes i en rasjonell algebraisk ligning ( slik som pi²=10 eller 9pi4– 240pito+ 1492 = 0).
Mot enda flere sifre i pi
Utbrudd av beregninger av enda flere sifre i pi fulgte bruken av iterative algoritmer, som gjentatte ganger bygger en oppdatert verdi ved å bruke en beregning utført på den forrige verdien. Et enkelt eksempel på en iterativ algoritme lar deg tilnærme kvadratroten av 2 som følger, ved å bruke formelen (x+2/x)/2:
- (2+2/2)/2 = 1,5
- (1.5+2/1.5)/2 = 1,4167
- (1,4167+2/1,4167)/2 = 1,4142, som allerede er en veldig nær tilnærming.
Fremskritt mot flere sifre i pi kom med bruken av en Machin-lignende algoritme (en generalisering av engelsk matematiker John Machins formel utviklet i 1706) og Gauss-Legendre algoritme (slutten av 1700-tallet) i elektroniske datamaskiner (oppfunnet midten av 1900-tallet). I 1946 beregnet ENIAC, den første elektroniske datamaskinen for generell bruk, 2037 sifre pi på 70 timer. Den siste beregningen funnet mer enn 13 billioner sifre pi på 208 dager!
Det har vært allment akseptert at for de fleste numeriske beregninger som involverer pi, gir et dusin sifre tilstrekkelig presisjon. I følge matematikere Jörg Arndt og Christoph Haenel 39 sifre er tilstrekkelig til å utføre de fleste kosmologiske beregninger, fordi det er nøyaktigheten som er nødvendig for å beregne omkretsen av det observerbare universet til innenfor ett atoms diameter. Deretter er flere sifre i pi ikke av praktisk nytte i beregninger; snarere handler dagens jakt på flere sifre i pi om å teste superdatamaskiner og numeriske analysealgoritmer.
Beregner pi selv
Det finnes også morsomme og enkle metoder for å estimere verdien av pi. En av de mest kjente er en metode kalt ' Monte Carlo .'
En firkant med påskrevet sirkel. Deweirdifier Wikimedia Commons
Metoden er ganske enkel. For å prøve det hjemme, tegn en sirkel og en firkant rundt den (som til venstre) på et stykke papir. Tenk deg at kvadratets sider er av lengde 2, så arealet er 4; sirkelens diameter er derfor 2, og arealet er pi. Forholdet mellom deres arealer er pi/4, eller omtrent 0,7854.
Ta nå opp en penn, lukk øynene og sett prikker på plassen tilfeldig. Hvis du gjør dette nok ganger, og innsatsen din er virkelig tilfeldig, vil til slutt prosentandelen av gangene prikken din landet innenfor sirkelen nærme seg 78,54 % – eller 0,7854.
Nå har du sluttet deg til rekken av matematikere som har beregnet pi gjennom tidene.
Denne artikkelen ble opprinnelig publisert på Samtalen . Les original artikkel .